Récurrences Linéaires EJS — 10 Cas Remarquables

Cas 01 — Réduction

Degré 5 qui se réduit à Fibonacci réduction

EJS_P1P1P2P3P5_P2P3N1P0P1

↓ PDF

LinearRecurrence[{1, 0, -1, 3, 2}, {1, 1, 2, 3, 5}, 30] a(n) = (2)·a(n-5) + (3)·a(n-4) + (-1)·a(n-3) + (0)·a(n-2) + (1)·a(n-1) Conditions initiales : a(0)=1, a(1)=1, a(2)=2, a(3)=3, a(4)=5

$$a(n) = - \frac{3 \cdot 2^{n} \sqrt{5}}{- 9 \sqrt{5} \left(-1 + \sqrt{5}\right)^{n} + 15 \left(-1 + \sqrt{5}\right)^{n}} + \frac{3 \cdot 2^{n}}{- 9 \sqrt{5} \left(-1 + \sqrt{5}\right)^{n} + 15 \left(-1 + \sqrt{5}\right)^{n}} + \frac{3 \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}}\right)^{n}}{15 + 9 \sqrt{5}} + \frac{3 \sqrt{5} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}}\right)^{n}}{15 + 9 \sqrt{5}}$$

Séquence (30 premiers termes)

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040

Propriété remarquable : cette récurrence de degré 5 aux coefficients {1, 0, -1, 3, 2} génère exactement la séquence de Fibonacci. Le moteur EJS identifie automatiquement la réduction vers EJS_P1P1_P1P1 (degré 2). La formule symbolique de degré 5 est formellement correcte mais se simplifie vers la formule de Binet. Les lois de réduction EJS permettent de détecter ces équivalences pour tout degré. this degree-5 recurrence with coefficients {1, 0, -1, 3, 2} generates exactly the Fibonacci sequence. The EJS engine automatically identifies the reduction to EJS_P1P1_P1P1 (degree 2). The degree-5 symbolic formula is formally correct but simplifies to Binet's formula. EJS reduction laws detect such equivalences at any degree.

Cas 02 — Résonance polynomiale

Récurrence de degré 3 → formule polynomiale exacte résonance

EJS_P11P23P47_P1N3P3

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LinearRecurrence[{3, -3, 1}, {11, 23, 47}, 30] a(n) = (1)·a(n-3) + (-3)·a(n-2) + (3)·a(n-1) Conditions initiales : a(0)=11, a(1)=23, a(2)=47

$$a(n) = 6n^2 + 6n + 11$$

Séquence (30 premiers termes)

11, 23, 47, 83, 131, 191, 263, 347, 443, 551, 671, 803, 947, 1103, 1271, 1451, 1643, 1847, 2063, 2291, 2531, 2783, 3047, 3323, 3611, 3911, 4223, 4547, 4883, 5231

Propriété remarquable : les racines caractéristiques du polynôme $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3$ sont toutes égales à 1 (racine triple). Ce cas de résonance maximale produit une formule purement polynomiale de degré 2, sans aucune exponentielle. C'est l'analogue discret d'une onde stationnaire : la dynamique récurrente s'effondre vers une croissance algébrique. Le degré du polynôme est lié à la multiplicité de la racine.

Cas 03 — Périodicité en degré élevé

Récurrence de degré 8 à séquence périodique simple période 8

EJS_P0P1P2P3P4P5P0P0_P1P0P0P0P0P0P0P0

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LinearRecurrence[{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1}, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 0}, 30] a(n) = (1)·a(n-8) Conditions initiales : a(0)=0, a(1)=1, a(2)=2, a(3)=3, a(4)=4, a(5)=5, a(6)=0, a(7)=0

La formule symbolique exacte fait intervenir les 8 racines de l'unité $e^{2i\pi k/8}$ pour $k=0,\ldots,7$, avec $\sqrt{2}$ et termes en $(-1)^n$. La fonction génératrice est : $$G(z) = \frac{-5z^5 - 4z^4 - 3z^3 - 2z^2 - z}{z^8 - 1}$$

$$a(n) = - \frac{3 \left(-1\right)^{n}}{8} - \frac{7 \sqrt{2} \cdot 2^{n} \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right)^{- n}}{16} - \frac{2^{n} \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right)^{- n}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot 2^{n} i \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right)^{- n}}{16} + \frac{2^{n} i \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right)^{- n}}{4} - \frac{7 \sqrt{2} \cdot 2^{n} \left(\sqrt{2} - \sqrt{2} i\right)^{- n}}{16} - \frac{2^{n} \left(\sqrt{2} - \sqrt{2} i\right)^{- n}}{2} - \frac{2^{n} i \left(\sqrt{2} - \sqrt{2} i\right)^{- n}}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2^{n} i \left(\sqrt{2} - \sqrt{2} i\right)^{- n}}{16} + \frac{i^{n}}{4} - \frac{3 i \cdot i^{n}}{8} + \frac{\left(- i\right)^{n}}{4} + \frac{3 i \left(- i\right)^{n}}{8} - \frac{\left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}}\right)^{n}}{2} + \frac{7 \sqrt{2} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}}\right)^{n}}{16} + \frac{\sqrt{2} i \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}}\right)^{n}}{16} + \frac{i \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}}\right)^{n}}{4} - \frac{\left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}\right)^{n}}{2} + \frac{7 \sqrt{2} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}\right)^{n}}{16} - \frac{i \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}\right)^{n}}{4} - \frac{\sqrt{2} i \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}}\right)^{n}}{16} + \frac{15}{8}$$

Séquence (30 premiers termes)

0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5

Propriété remarquable : un moteur de degré 8 réduit à un seul coefficient non nul ($a(n) = a(n-8)$) génère une séquence d'apparence triviale. Pourtant la formule symbolique exacte est non triviale — elle fait intervenir toutes les racines 8èmes de l'unité. Les racines s'organisent en une structure cristalline parfaite dont la superposition s'annule sauf aux multiples de 8.

Cas 04 — Formule de degré élevé

Récurrence de degré 6 — formule symbolique étendue deg. 6

EJS_P1P1P1P1P1P1_P1P1P0P1P0P1

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LinearRecurrence[{1, 0, 1, 0, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1}, 30] a(n) = (1)·a(n-6) + (1)·a(n-5) + (0)·a(n-4) + (1)·a(n-3) + (0)·a(n-2) + (1)·a(n-1) Conditions initiales : a(0)=…=a(5)=1

La formule fait intervenir les 6 racines du polynôme caractéristique $x^6 - x^5 - x^3 - x - 1 = 0$, dont deux réelles et quatre complexes conjuguées. Elle contient $\sqrt{3}\,i$ et $\sqrt{5}$. Fonction génératrice : $$G(z) = \frac{2z^5 + z^4 + z^3 - 1}{z^6 + z^5 + z^3 + z - 1}$$

$$a(n) = - \frac{9 \cdot 2^{n}}{12 \left(1 + \sqrt{3} i\right)^{n} + 12 \sqrt{3} i \left(1 + \sqrt{3} i\right)^{n}} + \frac{3 \cdot 2^{n} \sqrt{3} i}{12 \left(1 + \sqrt{3} i\right)^{n} + 12 \sqrt{3} i \left(1 + \sqrt{3} i\right)^{n}} - \frac{9 \cdot 2^{n}}{12 \left(1 - \sqrt{3} i\right)^{n} - 12 \sqrt{3} i \left(1 - \sqrt{3} i\right)^{n}} - \frac{3 \cdot 2^{n} \sqrt{3} i}{12 \left(1 - \sqrt{3} i\right)^{n} - 12 \sqrt{3} i \left(1 - \sqrt{3} i\right)^{n}} - \frac{21 \cdot 2^{n}}{- 40 \left(-1 + \sqrt{5}\right)^{n} + 16 \sqrt{5} \left(-1 + \sqrt{5}\right)^{n}} + \frac{9 \cdot 2^{n} \sqrt{5}}{- 40 \left(-1 + \sqrt{5}\right)^{n} + 16 \sqrt{5} \left(-1 + \sqrt{5}\right)^{n}} + \frac{\sqrt{3} i \left(\frac{1}{- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}}\right)^{n}}{-12 - 4 \sqrt{3} i} - \frac{3 \left(\frac{1}{- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}}\right)^{n}}{-12 - 4 \sqrt{3} i} - \frac{\sqrt{3} i \left(\frac{1}{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}\right)^{n}}{-12 + 4 \sqrt{3} i} - \frac{3 \left(\frac{1}{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}\right)^{n}}{-12 + 4 \sqrt{3} i} - \frac{9 \sqrt{5} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}}\right)^{n}}{-40 - 16 \sqrt{5}} - \frac{21 \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}}\right)^{n}}{-40 - 16 \sqrt{5}}$$
La formule complète dépasse 300 symboles LaTeX — calculée sur doowizz.ovh

Séquence (30 premiers termes)

1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 7, 10, 16, 25, 40, 67, 109, 175, 283, 457, 739, 1198, 1939, 3136, 5074, 8209, 13282, 21493, 34777, 56269, 91045, 147313, 238357

Propriété remarquable : la croissance est dominée par la racine réelle positive maximale $\rho \approx 1.6180...$ — proche du nombre d'or. Le cas illustre la limite pratique des formules symboliques : correctes et exactes, elles deviennent trop volumineuses pour le rendu en ligne à partir du degré 5-6 selon les coefficients.

Cas 05 — Racines complexes conjuguées

Moteur complexe → séquence réelle périodique période 6

EJS_P1P0_N1P1

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LinearRecurrence[{1, -1}, {1, 0}, 30] a(n) = (-1)·a(n-2) + (1)·a(n-1) Conditions initiales : a(0)=1, a(1)=0

$$a(n) = \frac{3 \cdot 2^{n}}{3 \left(1 + \sqrt{3} i\right)^{n} + 3 \sqrt{3} i \left(1 + \sqrt{3} i\right)^{n}} + \frac{2^{n} \sqrt{3} i}{3 \left(1 + \sqrt{3} i\right)^{n} + 3 \sqrt{3} i \left(1 + \sqrt{3} i\right)^{n}} + \frac{3 \cdot 2^{n}}{3 \left(1 - \sqrt{3} i\right)^{n} - 3 \sqrt{3} i \left(1 - \sqrt{3} i\right)^{n}} - \frac{2^{n} \sqrt{3} i}{3 \left(1 - \sqrt{3} i\right)^{n} - 3 \sqrt{3} i \left(1 - \sqrt{3} i\right)^{n}}$$

Séquence (30 premiers termes)

1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1

Propriété remarquable : les racines caractéristiques sont $e^{\pm i\pi/3}$ — sixièmes racines de l'unité — ce qui produit une séquence entièrement réelle et entière à partir d'une formule contenant $\sqrt{3}\,i$. La partie imaginaire s'annule terme à terme par conjugaison. C'est le mécanisme fondamental des séries de Fourier discrètes. La période 6 correspond à $2\pi / (\pi/3)$.

Cas 06 — Symétrie de permutation

Permutation du moteur : cyclique → Fibonacci permutation

EJS_P1P0_P1N1

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LinearRecurrence[{-1, 1}, {1, 0}, 30] a(n) = (1)·a(n-2) + (-1)·a(n-1) Conditions initiales : a(0)=1, a(1)=0

$$a(n) = \frac{5 \cdot 2^n}{5\left(1+\sqrt{5}\right)^n + 5\sqrt{5}\left(1+\sqrt{5}\right)^n} - \frac{3 \cdot 2^n\sqrt{5}}{5\left(1+\sqrt{5}\right)^n + 5\sqrt{5}\left(1+\sqrt{5}\right)^n} + \frac{5\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}}\right)^n}{5 - 5\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}}\right)^n}{5 - 5\sqrt{5}}$$

Séquence (30 premiers termes)

1, 0, 1, -1, 2, -3, 5, -8, 13, -21, 34, -55, 89, -144, 233, -377, 610, -987, 1597, -2584, 4181, -6765, 10946, -17711, 28657, -46368, 75025, -121393, 196418, -317811

Propriété remarquable : les moteurs (-1, 1) (cas 05) et (1, -1) (cas 06) ne diffèrent que par la permutation de leurs coefficients. Pourtant le résultat est radicalement différent : séquence périodique bornée d'un côté (racines sur le cercle unité), croissance exponentielle de l'autre (Fibonacci à signes alternés, racines hors du cercle). Cette bifurcation illustre la sensibilité structurelle aux permutations, centrale dans la théorie EJS des forêts de récurrences. engines (-1, 1) (case 05) and (1, -1) (case 06) differ only by a permutation of their coefficients. Yet the result is radically different: bounded periodic sequence on one side (roots on the unit circle), exponential growth on the other (signed Fibonacci, roots outside the circle). This bifurcation illustrates the structural sensitivity to permutations, central to the EJS recurrence forest theory.

Cas 07 — Conditions initiales complexes

Moteur et conditions initiales complexes complexe

EJS_PIP0_P1NI

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LinearRecurrence[{-I, 1}, {I, 0}, 30] a(n) = (1)·a(n-2) + (-I)·a(n-1) Conditions initiales : a(0)=I, a(1)=0

$$a(n) = -\frac{3 \cdot 2^n}{3\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+i\right)^n + 3i\left(\sqrt{3}+i\right)^n} + \frac{2\sqrt{3}\,i}{3\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+i\right)^n + 3i\left(\sqrt{3}+i\right)^n} - \frac{3\left(\frac{i}{\frac{-\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}}\right)^n}{-3\sqrt{3}+3i} - \frac{3\left(\frac{i}{\frac{-\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}}\right)^n}{-3\sqrt{3}+3i}$$

Séquence (30 premiers termes)

I, 0, I, 1, 0, 1, -I, 0, -I, -1, 0, -1, I, 0, I, 1, 0, 1, -I, 0, -I, -1, 0, -1, I, 0, I, 1, 0, 1

Propriété remarquable : le moteur est complexe (coefficient $-i$) et les conditions initiales sont complexes ($a(0)=i$). La séquence résultante est périodique et ne prend que les valeurs $\{0, 1, -1, i, -i\}$ — les quatre unités de $\mathbb{Z}[i]$ plus zéro. Les racines caractéristiques sont sur le cercle unité, ce qui garantit la périodicité. Ce cas montre que la théorie EJS s'étend naturellement aux entiers de Gauss.

Cas 08 — Coefficients rationnels

Coefficients dans ℚ — séquence rationnelle, formule irrationnelle ℚ → ℝ

EJS_P0P1P2_N1/2P3/4P1

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LinearRecurrence[{1, 3/4, -1/2}, {0, 1, 2}, 30] a(n) = (-1/2)·a(n-3) + (3/4)·a(n-2) + (1)·a(n-1) Conditions initiales : a(0)=0, a(1)=1, a(2)=2

$$a(n) = - \frac{7 \cdot 4^{n}}{- \frac{85 \left(-1 + \sqrt{17}\right)^{n}}{4} + \frac{13 \sqrt{17} \left(-1 + \sqrt{17}\right)^{n}}{4}} - \frac{\sqrt{17} \cdot 4^{n}}{- \frac{85 \left(-1 + \sqrt{17}\right)^{n}}{4} + \frac{13 \sqrt{17} \left(-1 + \sqrt{17}\right)^{n}}{4}} + \frac{\sqrt{17} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{1}{4}}\right)^{n}}{- \frac{85}{4} - \frac{13 \sqrt{17}}{4}} - \frac{7 \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{1}{4}}\right)^{n}}{- \frac{85}{4} - \frac{13 \sqrt{17}}{4}} - \frac{3 \cdot 2^{-n}}{2}$$

Séquence (30 premiers termes — valeurs dans ℚ)

0, 1, 2, 11/4, 15/4, 77/16, 25/4, 511/64, 657/64, 3361/256, 2155/128, 22067/1024, 28275/1024, 144821/4096, 23189/512, 950311/16384, 1217205/16384, 6235657/65536, 3993325/32768, 40915931/262144, 52404567/262144, 268472861/1048576, 85963675/262144, 1761600847/4194304, 2256219225/4194304, 11558841841/16777216, 7402148911/8388608, 75843963011/67108864, 97139172795/67108864, 497654197637/268435456

Propriété remarquable : les coefficients du moteur sont des fractions rationnelles $\{1,\ \tfrac{3}{4},\ -\tfrac{1}{2}\}$ — éléments de $\mathbb{Q}$. La séquence résultante reste entièrement dans $\mathbb{Q}$ : chaque terme est une fraction exacte. Pourtant la formule symbolique fait apparaître $\sqrt{17}$ — un irrationnel absent des données d'entrée, né des racines du polynôme caractéristique $x^3 - x^2 - \tfrac{3}{4}x + \tfrac{1}{2} = 0$. La théorie EJS gère automatiquement cette transition de corps : $\mathbb{Q}$ (coefficients) $\to$ $\mathbb{Q}(\sqrt{17})$ (formule) $\to$ $\mathbb{Q}$ (séquence). Le terme $-\tfrac{3}{2} \cdot 2^{-n}$ disparaît exponentiellement — trace de la racine réelle négative de module inférieur à 1.

Cas 09 — Résonance double oscillante

Racines 1 et -1 multiples — polynôme stationnaire + polynôme oscillant résonance ×2

EJS_P17P41P23P43P37P47_P1P0N3P0P3P0

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LinearRecurrence[{0, 3, 0, -3, 0, 1}, {17, 41, 23, 43, 37, 47}, 30] a(n) = (1)·a(n-6) + (0)·a(n-5) + (-3)·a(n-4) + (0)·a(n-3) + (3)·a(n-2) + (0)·a(n-1) Conditions initiales : a(0)=17, a(1)=41, a(2)=23, a(3)=43, a(4)=37, a(5)=47

$$a(n) = \frac{3 \left(-1\right)^{n} n^{2}}{8} + \frac{\left(-1\right)^{n} n}{2} - \frac{95 \left(-1\right)^{n}}{8} + \frac{5 n^{2}}{8} + \frac{n}{2} + \frac{231}{8}$$

Séquence (30 premiers termes)

17, 41, 23, 43, 37, 47, 59, 53, 89, 61, 127, 71, 173, 83, 227, 97, 289, 113, 359, 131, 437, 151, 523, 173, 617, 197, 719, 223, 829, 251

Propriété remarquable : le polynôme caractéristique $x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1 = (x-1)^3(x+1)^3$ possède 1 et -1 comme racines triples simultanément — une double résonance. La formule résultante est une superposition de deux polynômes de degré 2 : $\frac{5n^2}{8} + \frac{n}{2} + \frac{231}{8}$ (terme stationnaire, croissance quadratique) et $(-1)^n \left(\frac{3n^2}{8} + \frac{n}{2} - \frac{95}{8}\right)$ (terme oscillant, même croissance mais à signe alternés). Aucune exponentielle, aucune racine irrationnelle — la complexité du degré 6 s'effondre entièrement vers du polynomial pur. C'est le cas de résonance maximale simultanée sur les deux racines réelles de module 1.

Cas 10 — Degré 11, racines 10èmes de l'unité

Formule monumentale — racines 10èmes + résonance polynomiale deg. 11

EJS_P2P2P4P10P16P28P48P76P110P144P182_P1N3P4N4P4N4P4N4P4N4P3

↓ PDF

LinearRecurrence[{3, -4, 4, -4, 4, -4, 4, -4, 4, -3, 1}, {2, 2, 4, 10, 16, 28, 48, 76, 110, 144, 182}, 30] a(n) = (1)·a(n-11) + (-3)·a(n-10) + (4)·a(n-9) + (-4)·a(n-8) + (4)·a(n-7) + (-4)·a(n-6) + (4)·a(n-5) + (-4)·a(n-4) + (4)·a(n-3) + (-3)·a(n-2) + (3)·a(n-1) [NB: voir PDF] Conditions initiales : a(0)=2, a(1)=2, a(2)=4, a(3)=10, a(4)=16, a(5)=28, a(6)=48, a(7)=76, a(8)=110, a(9)=144, a(10)=182

Formule complète — défile horizontalement : $$a(n) = - \frac{125 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n}}{- 40 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 120 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 64 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 160 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} - \frac{1055 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{- 80 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 240 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 128 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 320 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} + \frac{1055 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \sqrt{5} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{- 80 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 240 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 128 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 320 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} + \frac{1205 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n}}{- 160 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 480 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 256 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 640 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} - \frac{3235 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \sqrt{5} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{- 320 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 960 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 512 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 1280 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} + \frac{6555 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{- 320 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 960 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 512 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 1280 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} - \frac{2180 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n}}{- 640 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 1920 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 2560 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} + \frac{384 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \sqrt{5} \cdot 8^{n}}{- 640 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 1920 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 2560 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} - \frac{1714 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \sqrt{5} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{- 640 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 1920 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 2560 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} - \frac{3390 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{- 640 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 1920 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 2560 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} - \frac{125 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n}}{- 40 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 120 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 160 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 64 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} - \frac{1055 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \sqrt{5} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{- 80 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 240 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 320 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 128 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} + \frac{1055 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{- 80 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 240 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 320 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 128 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} + \frac{1205 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n}}{- 160 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 480 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 640 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 256 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} - \frac{6555 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{- 320 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 960 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 1280 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 512 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} + \frac{3235 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \sqrt{5} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{- 320 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 960 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 1280 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 512 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} - \frac{2180 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n}}{- 640 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 1920 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 2560 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} + \frac{384 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \sqrt{5} \cdot 8^{n}}{- 640 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 1920 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 2560 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} + \frac{3390 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{- 640 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 1920 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 2560 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} + \frac{1714 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \sqrt{5} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{- 640 \sqrt{5} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 1920 \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} - 2560 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n} + 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)^{n}} + \frac{375 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{- 40 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 200 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 320 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 800 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} + \frac{375 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \sqrt{5} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{- 40 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 200 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 320 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 800 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} + \frac{235 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n}}{- 80 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 400 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 640 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 1600 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} - \frac{275 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n}}{- 160 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 800 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 1280 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 3200 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} - \frac{3385 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \sqrt{5} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{- 320 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 1600 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 2560 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 6400 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} - \frac{3625 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{- 320 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 1600 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 2560 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 6400 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} - \frac{2700 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n}}{- 640 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 3200 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 5120 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 12800 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} + \frac{640 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \sqrt{5} \cdot 8^{n}}{- 640 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 3200 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 5120 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 12800 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} - \frac{510 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \sqrt{5} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{- 640 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 3200 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 5120 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 12800 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} + \frac{2530 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{- 640 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 3200 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 5120 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 12800 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} + 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} - \frac{375 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \sqrt{5} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{- 40 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 200 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 800 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 320 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} - \frac{375 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{- 40 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 200 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 800 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 320 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} + \frac{235 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n}}{- 80 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 400 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 1600 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 640 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} - \frac{275 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n}}{- 160 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 800 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 3200 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 1280 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} + \frac{3625 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{- 320 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 1600 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 6400 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 2560 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 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4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 3200 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 12800 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 5120 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} - \frac{2530 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{- 640 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 3200 \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} - 12800 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n} + 5120 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 4 i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)^{n}} + \frac{510 \cdot 2^{\frac{n}{2}} \sqrt{5} \cdot 8^{n} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{- 640 \sqrt{5} \left(- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} - 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\frac{\sqrt{5}}{8}} - 320 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}} - \frac{375 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}\right)^{n}}{40 \sqrt{5} + 200 + 320 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} + 800 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}} + \frac{235 \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}\right)^{n}}{80 \sqrt{5} + 400 + 640 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} + 1600 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}} - \frac{3625 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}\right)^{n}}{320 \sqrt{5} + 1600 + 2560 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} + 6400 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}} + \frac{510 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} - 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\frac{640 \sqrt{5} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}\right)^{n}}{640 \sqrt{5} + 3200 + 5120 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} + 12800 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}} - \frac{2700 \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}\right)^{n}}{640 \sqrt{5} + 3200 + 5120 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} + 12800 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}} + \frac{3385 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}\right)^{n}}{320 \sqrt{5} + 1600 + 2560 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} + 6400 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}} - \frac{3235 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{320 \sqrt{5} + 960 - 1280 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - 512 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} - \frac{6555 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{320 \sqrt{5} + 960 - 1280 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - 512 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} - \frac{1714 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{640 \sqrt{5} + 1920 - 2560 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} - \frac{2180 \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{640 \sqrt{5} + 1920 - 2560 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} - \frac{125 \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{40 \sqrt{5} + 120 - 160 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - 64 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} - \frac{384 \sqrt{5} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{640 \sqrt{5} + 1920 - 2560 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} + \frac{3390 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{640 \sqrt{5} + 1920 - 2560 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} + \frac{1205 \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{160 \sqrt{5} + 480 - 640 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - 256 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} + \frac{1055 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{80 \sqrt{5} + 240 - 320 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - 128 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} + \frac{1055 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{80 \sqrt{5} + 240 - 320 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - 128 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} - \frac{1055 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{80 \sqrt{5} + 240 + 128 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + 320 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} - \frac{1055 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{80 \sqrt{5} + 240 + 128 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + 320 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} + \frac{1205 \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{160 \sqrt{5} + 480 + 256 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + 640 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} - \frac{3390 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{640 \sqrt{5} + 1920 + 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + 2560 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} - \frac{384 \sqrt{5} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{640 \sqrt{5} + 1920 + 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + 2560 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} - \frac{125 \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{40 \sqrt{5} + 120 + 64 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + 160 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} - \frac{2180 \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{640 \sqrt{5} + 1920 + 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + 2560 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} + \frac{1714 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{640 \sqrt{5} + 1920 + 1024 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + 2560 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} + \frac{6555 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{320 \sqrt{5} + 960 + 512 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + 1280 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} + \frac{3235 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \left(\frac{1}{- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}\right)^{n}}{320 \sqrt{5} + 960 + 512 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + 1280 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}} - 4$$

Séquence (30 premiers termes)

2, 2, 4, 10, 16, 28, 48, 76, 110, 144, 182, 222, 264, 310, 356, 408, 468, 536, 610, 684, 762, 842, 924, 1010, 1096, 1188, 1288, 1396, 1510, 1624

La fonction génératrice est : $$G(z) = \begin{align*} \normalsize EJS\_P2P2P4P10P16P28P48P76P110P144P182\_P1N3P4N4P4N4P4N4P4N4P3_{GF}(x) = \frac{- 4 x^{10} + 2 x^{9} - 2 x^{8} - 4 x^{7} - 4 x^{6} - 4 x^{5} - 2 x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x - 2}{x^{11} - 3 x^{10} + 4 x^{9} - 4 x^{8} + 4 x^{7} - 4 x^{6} + 4 x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 1} \end{align*} $$

Propriété remarquable : le polynôme caractéristique de degré 11 admet les 10 racines de l'unité $e^{2i\pi k/10}$ pour $k=1,...,9$ plus la racine 1 avec multiplicité 2. C'est pourquoi la formule fait apparaître $\sqrt{5}$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{10}$, $\sqrt{5-\sqrt{5}}$ et $\sqrt{5+\sqrt{5}}$ — exactement les valeurs exactes de $\sin(\pi/5)$, $\cos(\pi/5)$, $\sin(2\pi/5)$, $\cos(2\pi/5)$. La formule complète contient plusieurs milliers de symboles LaTeX (voir PDF) — pourtant la séquence résultante croît modestement de façon quasi-quadratique. C'est le cas le plus spectaculaire de contraste entre la complexité de la formule et la sobriété de la dynamique.